Disegno tecnico industriale

forma con ciascuno degli assi x, y e z; vale quindi la relazione: cos2a + cos2b + cos2g = 1 [2] Dalla trigonometria: cos2a = 1 - sen2a = 1 p2 cos2b = 1 - sen2b = 1 q2 cos2g = 1 - sen2g = 1 r2 Se si vogliono determinare gli angoli a , b e g compresi tra gli assi assonometrici O x, O y ed O z in modo analitico, si ha che: O B =OB sen b =OO tg b OO =OA cos a =OB cos b =OC cos g [3] [4] Poiché p, q ed r sono minori di uno, anche i loro quadrati sono delle quantità minori di uno; pertanto il secondo membro dell espressione [4] è un numero maggiore di uno, cioè: p2 + q2 > 1 a b g 2 ; A B = cos2 b cos2 a OO OO 2 [7] 1 1 cos2 a cos2 b così pure: AC q2 > r2 [5] OO 2 OO 2 = cos2 a cos2 g OO Lo studioso K. Pohlke già nel 1853 propose un teorema fondamentale per le assonometrie, e cioè: «Tre segmenti complanari u x , u y , u z , uscenti da un medesimo punto O , di lunghezze arbitrarie, formanti tra loro angoli arbitrari, possono sempre essere considerati come proiezione parallela di tre segmenti uguali, mutuamente ortogonali, purché non più di uno dei segmenti e non più di uno dei loro angoli sia nullo . In pratica tre segmenti arbitrari O A, O B e O C di un piano, si possono sempre considerare come proiezioni parallele di tre segmenti OA, OB e OC presi su tre assi ortogonali: l unica restrizione al teorema è che i quattro punti O , A , B e C non siano allineati, senza che resti esclusa la coincidenza di due tra quei punti. I parametri assonometrici, angoli e rapporti di riduzione, sono strettamente legati tra loro, per cui dati i primi, si possono ricavare i secondi, sia con procedimenti analitici che grafici. BC OO ctg2b = cosa cosg cosb ctg2g = cosa cosb cosg Uno dei metodi usati nella pratica per la determinazione degli elementi dei sistemi assonometrici ortogonali, è quello di far riferimento a tre numeri di solito interi, proporzionali ai rapporti p, q ed r, nella forma: 1 1 2 cos b cos2 g po kp qo kq ro kr L assonometria isometrica ortogonale è caratterizzata quindi dalla condizione: po qo ro 1 1 1 2 cos b cos2 g per il teorema di Carnot applicato al triangolo O BA: 2 O B2 cos g AB 2 O A 2 O B 2 2 O A tenendo presente le espressioni [6] e [7]: Date quindi nel piano tre rette orientate x , y e z , che individuano i tre angoli arbitrari , e la cui somma è 180°, è possibile analiticamente individuare la disposizione spaziale della terna ortogonale che, proiettata ortogonalmente, dà origine ai 3 assi assonometrici x , y e z . Assonometria isometrica OO 2 OO 2 cos2 b cos2 g cosb cosg cosa ctg2a = quindi: Dunque, si può scrivere: + p2 + r2 > q2 r2 + q2 > p2 Gli angoli , e sono ottusi e legati dalla relazione: poiché OA ed OB sono ortogonali: OO 2 [8] si può facilmente dimostrare che: 2 OB2 A B = OA p2 + q2 = 2 r2 a arcos ( ctgb ctgg ) b arcos ( ctga ctgg ) g arcos ( ctgb ctga ) è anche: Essendo: 230 [6] O C =OC sen g =OO tg g p2 + q2 + r2 = 2 p2 Si otterranno alla fine le tre espressioni: O A =OA sen a =OO tg a sostituendo nella [2]: e quindi: sen2a + sen2b + sen2g = 2 Metodi analitici per le assonometrie ortogonali questo vuol dire che la stessa unità di misura u = ux= uy = uz, presa sugli assi x, y e z, viene proiettata sul piano in tre segmenti uguali: u x u y u z ; 1 1 tg2a tg2b 2 cos a cos2 b cos g 2tgatgb La terna da proiettare è orientata in modo che: a b g Poiché: cos2a cos2b cos2g = 1 poiché: si ha che : 1 1 tga cos2 a 1 1 tgb cos2 b 1 cos2 a 3 1 a b g arcos 54,73° 3